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증명&공식으로 수학공부하는 법! 2016-04-07 14:54:49
작성인 hakpon 조회:720     추천: 47
오르비 수학칼럼입니다^^
 
이과 수학 고정 3~5등급을 위한 글입니다.

 
인터넷에 흔히 보이는 뻔한 방법도 아니고,
추상적으로 어떻게 해라~라고 말만하려는 것도 아닙니다.

 
구체적으로 어떻게 해야, 1등급과 그 아래 학생들의 격차를 줄일 수 있는 지
개념공부부터 문제풀이까지 하나하나 쓰려 합니다

 

 

 

 

 

개념 학습하는 법 2단계 - 증명, 공식




1. 시작하기 전에


 

 정말 많은 학생들이 해결하지 못하는 난제가 있어요.


 

            "공식"은 어떻게 공부해야 하는 가?

 

            "증명"은 어떻게 공부해야 하는 가?


 

공식은 원리를 하나하나 이해해야 한다고 해요. 그런데 왜 원리를 이해해야 할까요?


 

증명은 빈 종이에 자기가 직접 할 수 있으면 된대요. 그런데 왜 그래야 할까요?


 

이 과정들 자체가 문제 푸는 데에 도움이 되긴 할까요?






 

 

 

2. 본론

 


증명 공부하는 법을 먼저 살펴보고, 그다음 공식을 공부하는 법을 설명하도록 할게요!



 

가. 증명 공부하는 법

 

미분 - 도함수의 활용 - 접선의방정식 파트입니다.


증명은 아래 세 가지를 할 수 있으면 돼요.


 

1. 증명에 쓰인 개념 혹은 변형을 알고 있는 가

2. 빈 종이에 본인이 직접 증명 할 수 있는 가

3. 증명안의 숫자 혹은 문자, 식이 바뀌어도 할 수 있는 가


 

1번부터 하나하나 살펴보겠습니다.


 

1. 증명에 쓰인 개념 혹은 변형을 알고 있는 가?


에서는 미분계수의 개념이 쓰였어요.

(미분계수 : 접선의 기울기)


에서는 직선의 방정식 개념이 쓰였어요.

(한 점을 지나고, 기울기가 주어졌을 때 직선의 방정식)



2. 빈 종이에 본인이 직접 증명 할 수 있는 가


 

이렇게 빈 공책에 본인이 직접 증명해보세요.


 

제가 빨간색 펜으로 쓴 것처럼, 옆에 개념이나 변형을 써주면 더 좋겠죠?



3. 증명안의 숫자 혹은 문자, 식이 바뀌어도 할 수 있는 가


이 부분이 되게 중요해요!


여러분도 펜들고 직접 해보세요! 이 과정을 해야 


증명능력도 길러지고, 문제 푸는 사고력도 길러져요.


예를 들어, 함수를 y=f(x) 대신에, y=2f(x)+x로 바꾸고,

x=a에서 접선의 방정식이 아닌, x=2에서 접선의 방정식으로 바꾸는 거에요.

 



이 부분도 마찬가지로 옆에 개념이나 변형을 써주면 좋겠죠?


모든 증명을 위와 같은 방식으로 해주시면 됩니다.

 

 

 

 




나. 공식 공부하는 법


 

이제 본격적으로 공식을 공부하는 법을 알아보도록 할게요.


공식 공부하는 법은 크게 특별하지 않아요.


저번 칼럼 #1에서 소개한 교과서 공부법과 위에서 소개한 증명 공부법을 합치면 돼요.


글 맨 아래에 칼럼 #1을 링크해놓을 테니, 궁금하신 분은 읽어보세요!


 


 


 

도함수의 활용-함수의 증가 감소 파트를 살펴볼게요.


검은색 부분은 도입부이고,

초록색 부분은 증명,

파란색 부분은 개념부에요!


(도입부와 개념부가 무엇인지는 칼럼 #1에서 소개했어요!)


 

하나하나 간단히 살펴보도록 할까요?


 


 


 

1] 도입부 학습하기


생각열기를 통해, 접선의 기울기가 양수면 함수가 증가하고,

접선의 기울기가 감소면 함수가 감소함을 직관적으로 이해할 수 있어요.


 


 

2] 증명 학습하기


증명은 위에서 말한대로,

1) 증명에 쓰인 개념과 변형이 무엇인지 찾아보고

2) 빈 종이에 직접 증명을 해봐야 하며,

3) 문자나 식을 바꿔서 다시 증명을 해보면 돼요.


 

참고로,

에서는 평균값의 정리의 개념이 쓰였어요.


에서는 변형을 통해, 평균변화율이 양수면 함수가 증가함을 이끌어 냈어요.



3] 개념부 학습하기


칼럼 #1에서 말한 것처럼, 도입부와 개념부를 연결지어야 해요.


 

그러면 f'(x)>0인 구간에서 함수가 증가함을 직관적으로 이해할 수 있어요.


 


 


이번에는 바꿔읽어보기 작업을 할 거에요.


 

밑줄 친 f(x)를 다른 함수로, 밑줄 친 구간(a,b)를 다른 구간으로 바꿔서 읽어주세요.


 


 

예를 들면 아래와 같아요.


저는 f(x)를 3f(x)+x2로,

구간 (a,b)를 구간 (2,3)으로 바꿔봤어요.


 


 


 

그러므로 공식공부는 이런 식으로 하면 돼요.


 

                " 칼럼 #1 공부법 증명공부법 = 공식공부법 "


 

참고 : 가끔 증명이 없는 경우도 있어요. 이럴 땐 굳이 증명을 안해도

추론이 쉽거나, 대학교 과정이라 너무 까다롭거나! 둘 중 하나입니다.


 


 


 

다. 이렇게 공부해야 하는 이유


1] 증명을 이렇게 공부해야 하는 이유


1. 증명이 수능에 직접적으로 출제되지는 않아요. 증명을 하는 과정이 수능 문제에

간접적으로 출제되는 경우가 많아요.


 

-> 그러므로 증명을 통으로 외우기 보다는, 포인트를 두어 외워야 해요.

제가 '개념과 변형'(=포인트)을 찾으라 한 이유가 이거에요.


2. 증명을 할 줄 알아야, 문제 풀이의 논리적 과정을 알 수 있게 돼요.


 

-> 문제풀이 논리 없이 직관으로 떼우는 친구들 있죠?

수능에는 허용되는 직관이 있고, 그렇지 않는 직관이 있어요.

이 경계선을 익히기 위해 증명 공부는 필수입니다.


3. 증명과정에 포인트를 찾을 수 있어야, 문제풀이에서도 포인트를 찾을 수 있고,

그래야만 문제풀이의 큰 그림을 그릴 수 있어요.


 

-> 포인트를 찾는 능력이 나중에 기출문제 분석의 기본 바탕이 돼요.

문제 풀이를 포인트 별로 딱딱 끊을 수 없으면 기출 분석은 절.대. 할 수 없어요.



2] 공식을 이렇게 공부해야 하는 이유


 

제가 제시한 과정들을 하게 되면,


 

대부분의 공식을 "직관적"으로 이해할 수 있게 돼요.


 

공식을 직관적으로 이해하지 않으면, 고득점은 절대로 불가능해요.


 

아래 문제를 풀어볼까요?



 

초등학교 수준이고, 정말 쉽죠?


 

근데 실제로 풀게 시키면 두가지 유형의 학생이 발생해요.


 

1. 우수한 학생의 풀이



 

2. 넓이에 대한 이해가 없는 학생의 풀이.



 

여러분들 다 1번처럼 푸시죠? 그게 왜 그럴까요?


바로 넓이의 의미를 직관적으로 이해하고 있기 때문이에요.



이제 두 학생이 다음과 같은 문제를 만났어요.



방정식의 개념만 추가되었죠?


 

이 문제를 1번학생은 똑같은 문제라 생각하고 쉽게 풀어내지만,


 

2번학생은 전혀 다른 문제라 생각하고 또 외워요.


 

공식에 대한 직관적 이해 여부 가 이런 결과를 만들어내요.


 


 

2번 학생 되게 웃기죠? 여러분은 안그럴거같죠?


미분이 뭔지 직관적으로 이해하셨나요?


 

정적분의 성질은요? 벡터의 내적은?


 

공간도형에서 직선의 방정식은?


 

원순열은?


 


 


 

위에 제가 제시한 두 문제를 수능 문제로 생각해보게 되면


 

앞의 문제가 4점문제라면,


 

뒤의 문제는 1등급을 가르는 킬러문제가 됩니다.


 


 


 


 

수능이 끝날 때마다, 언론에서는 매번 "올해 수학영역도 기출문제의 반복이다." 라고 하는데,


 

여러분은 왜 매년 수능문제가 "새로운지" 잘 생각해보세요.


 


 

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